3e : question intéressante – théorème et réciproque –

De temps en temps, on rencontre des questions intéressantes qui nécessiteraient une réponse très détaillée avec des exemples. Je vais essayer dorénavant de les noter et d’y répondre sur ce blog.

Une élève de 3e me dit : « … je ne comprends pas ce que c’est la réciproque du théorème par rapport au théorème lui-même, ni même la contraposée ».

Nous sommes dans le chapitre sur Thalès, où l’on voit successivement le théorème, la contraposée et la réciproque. La réciproque apparaît, pour moi, naturelle, puisqu’il suffit d’échanger la conclusion et les hypothèses. J’explique très rapidement en écrivant le théorème à côté de la réciproque pour leur montrer la différence et leur fait un bref résumé des trois propriétés et dans quel cadre les utiliser (i.e. reconnaître la situation). Je ne suis pas sûr de l’avoir convaincue ni même d’avoir été convaincant en ce bref laps de temps. Voici un peu plus de détails.

« En mathématiques une implication réciproque est une proposition interchangeant la prémisse et la conclusion d’une implication » (source wiki mais aussi n’importe quel livre sur le calcul propositionnel). Le prémisse étant ce que je nomme les hypothèses ou le cadre d’application (la configuration de Thalès pour le théorème de Thalès ou le triangle rectangle pour Pythagore). 

L’implication « si A alors B » s’écrit en mathématiques A \implies B et la réciproque s’écrit (en inversant conclusion et hypothèse) « si B alors A », soit B\implies A.

Le cas rencontré dès la 6e est la médiatrice : nous avons deux propriétés qui sont la réciproque l’une de l’autre.

  • si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment
  • si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment

Pour le théorème de Pythagore, c’est simple:

  • le théorème : si le triangle ABC est rectangle en A alors BC^2=AB^2+BC^2
  • réciproque : si dans un triangle ABC, BC^2=AB^2+AC^2 alors le triangle ABC est rectangle en A

On a bien échangé la conclusion et l’hypothèse en notant que l’on travaille toujours dans un triangle.

Pour le théorème de Thalès, c’est la même chose avec une précision supplémentaire comme pour le théorème précédent : on est obligé de garder des hypothèses supplémentaires.

  • théorème : si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A – sinon, les triangles n’existent pas – et que (BC) \sslash (CN) alors \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
  • réciproque : (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A – pour pouvoir écrire les rapports, il faut au moins avoir cette « figure » -, si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans cette ordre (c.f. ci-dessous) et \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} alors (BC) \sslash (MN) 

On a bien échangé la conclusion et l’hypothèse (en laissant de côté l’alignement).

Pourquoi préciser l’alignement, une figure montre rapidement le problème

Dans le théorème, il faut A, M, B et A, N, C soient alignés dans le même ordre… Sur la figure, A, M et B sont alignés et A, N et C sont alignés. Mais (MN) et (BC) ne sont pas parallèles… En effet, A, M, B et A, N, C ne sont pas dans le même ordre (B\in [AM] et C\notin [AN]).

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